第十二章 无穷级数 常数项级数的概念和性质 常数项级数 设数列 为常数列，称 为 常数项级数. 常数项级数的敛散性 把 称为级数 的 部分和. 若 存在，则称级数 收敛. 令 ，称级数 收敛于 ，记为 . 若 不存在，则称级数 发散. 常数项级数的基本性质 性质一 ( 和差法则 ) 设 ，，则 . •● 注 ●• 若级数 与级数 一个收敛一个发散，则 必发散. 若级数 与级数 两个都发散，则 不一定发散. 和极限性质类似. 性质二 ( 常数倍法则 ) 设 ，则 ，特别地，若 ，则 与 有相同的敛散性. 性质三 级数增加、减少、改变有限项不改变级数的敛散性. 性质四 ( 级数收敛的必要条件 ) 若 收敛，则 . 反之，若 ，则 不一定收敛. ( 调和级数 ). •● 注 ●• 发散. 性质五 如果级数 收敛，那么对这级数的项任意加括号后所成的级数 仍收敛，其和不变. 两个重要的级数 级数：形如 的级数称为 级 ...

第二章 导数与微分 本章节不提供详细的知识点. 函数的微分 微分的定义 设 在 的某邻域 内有定义，并设 如果 可写成 其中 与 无关，，则称 在点 处可微，并称 为 在 处的微分，记为 又因自变量的增量 等于自变量的微分 ，于是 又可写成 •● 注 ●• 以 直 代 曲，这便是微分的含义. dx ∆x，dy ∆x，ds ∆s 关系 首先先要明确的是， 代表的是微观的意义 ( 微 )，而 代表的是宏观的概念 ( 宏 ). 由下图，易知 ( 为直线 ， 为曲线 ). 额外的，还有 ( 此处 "" 代表化曲为直 ). 弧微分 直角坐标系形式 参数方程形式 极坐标形式 可导、可微，连续 三者关系 在一元函数微分学中，可导 可微 ，可导 连续 ，连续 可导. 且对任意的 有， 函数的微分 和 函数的增量 关系 设 在 处可导 ( 可微 ) ，则有 或者 若又设在含有 的某区间内存在二阶导数，则由拉格朗日余项泰勒公式有 其中 ...

以下是在数学和应用中极为重要的行列式类型及其简要说明. 对角矩阵行列式 形式 : 性质 : 对角元素乘积直接给出行列式，计算最简. 上 / 下三角矩阵行列式 形式 : 性质 : 三角矩阵的行列式等于主对角线元素乘积. 副对角线矩阵 形式 对于 阶矩阵，副对角线矩阵的一般形式为 : 其中 为副对角线上的元素. 计算方法与公式 副对角线行列式的值为 : 说明 : 符号项 : 由排列的逆序数决定. 副对角线元素乘积 : . 公式推导 逆序数分析 : 副对角线矩阵的排列可以看作将自然顺序 反转为 . 该排列的逆序数为 : 因此符号为 . 展开式验证 : 以三阶矩阵为例 : 行列式展开后唯一非零的排列是 ，其逆序数为 ，符号为 ，故 : 特殊情况举例 二阶副对角线行列式 : 四阶副对角线行列式 : 性质与技巧 转置不改变行列式 : 副对角线矩阵的转置仍是副对角线矩阵，行列式值不变. 行交换法 : 通过交换行将副对角线矩阵转换为对角矩阵，需进行 次相邻行交换，每次交 ...

The phrases "the number of" and "a number of" are often confused, but they function very differently in sentences. Here's how they differ: 1. The number of Meaning: Refers to a specific quantity (how many) of something. Grammar: Followed by a plural noun (e.g., students, jobs). Singular verb because "number" is the subject. Example: The number of applicants has increased this year. The number of jobs created is impressive. 2. A number of Meaning: Means " ...

The word "as" is versatile and has multiple uses in English, functioning as a conjunction, preposition, or adverb. Below is a breakdown of its common uses with examples: 1. As a Conjunction Used to connect clauses or phrases. a. Time Meaning: "While" or "during the time that." As I was cooking, the phone rang. She smiled as she opened the gift. b. Reason Meaning: "Because" or "since" (though slightly more formal). As it was raining, we canceled the picnic. As you’ ...

英语冠词用法详解 冠词是英语中用于限定名词的一类虚词，分为 定冠词 ( the ) 、不定冠词 ( a/an ) 和 零冠词 ( 不用冠词的情况 ) . 以下是具体用法和常见规则： 一、定冠词 ( the ) 用法： 1. 特指双方已知的事物： - Pass me the book on the table. ( 请递给我桌上那本书. ) → 双方都知道是哪本书. 2. 独一无二的事物： - The sun rises in the east. ( 太阳从东方升起. ) 3. 上文提过的事物： - I saw a cat. The cat was black. ( 我看到一只猫，那只猫是黑色的. ) 4. 形容词最高级或序数词前： - He is the tallest student in the class. ( 他是班里最高的学生. ) - This is the first time I’ve been here. ( 这是我第一次来这里. ) 5. 某些地理名称前： - 江河海洋：the Nile, the Pacific ...

"有形用 with，无形用 by" 是一种简化的语法规则，用于区分介词 with 和 by 在表示"工具、手段"时的用法. 具体解析如下： 1. 基本规则 with：表示 具体、有形的工具或伴随物，强调直接使用某物. 例句： She wrote the letter with a pen. ( 她用钢笔写信. ) He opened the door with a key. ( 他用钥匙开门. ) by：表示 抽象、无形的手段或方法，常用于被动语态或泛指某种方式. 例句： The book was written by a famous author. ( 这本书是一位著名作家写的. ) We communicate by email. ( 我们通过邮件沟通. ) 2. 常见搭配对比 with ( 具体工具 ) by ( 抽象手段 ) cut with a knife ( 用刀切 ) succeed by hard work ( 通过努力成功 ) ...

"in, on, at" 在时间表达中的区别详解 at：用于具体的时间点 用法：表示精确的钟点、瞬间或短暂的时间段. 常见搭配： 钟点：at 7:30 PM ( 晚上7:30 ) 固定短语：at noon ( 正午 )、at midnight ( 午夜 )、at dawn ( 黎明 ) 节日时刻：at Christmas ( 圣诞节期间，强调整个节日氛围 ) 例句： The meeting starts at 9 AM. We usually have a family dinner at New Year. on：用于具体的某一天或日期 用法：表示特定的日期、星期几或某天的某段时间. 常见搭配： 星期几：on Monday ( 星期一 ) 具体日期：on July 4th ( 7月4日 ) 某天的上午/下午/晚上：on Tuesday morning ( 周二早上 ) 特殊日子：on my birthday ( 在我的生日当天 ) 例句： The concert is on ...

悬垂修饰语 ( Dangling Modifier ) 是英语语法中常见的错误，指 修饰语 ( 如分词、动名词、不定式或介词短语 ) 在句子中 没有明确修饰的对象，导致逻辑混乱或歧义. 这种错误通常是因为修饰语与主句的主语不匹配，或主句缺少被修饰的主语. 悬垂修饰语的常见形式 分词短语悬垂 错误 Running to catch the bus, the backpack fell off. ( "跑向公交车"的逻辑主语应该是人，但主句主语是"背包"，导致逻辑矛盾. ) 修正 Running to catch the bus, I dropped my backpack. 动名词短语悬垂 错误 After finishing the homework, the TV was turned on. ( "完成作业"的主语应是"人"，但主句主语是"电视". ) 修正 After finishing the homework, I turned on the TV. 不定式短语悬垂 错误 To win the race, training i ...