高等数学 第八章 向量代数与空间解析几何

第八章 向量代数与空间解析几何

向量代数

与向量有关的基本概念

向量

我们把既有 大小 又有 方向 的量称为 向量，也称为矢量. 常用黑体字 、 等表示向量. 从点 到点 的向量表示为 .

向量的模

向量 的 大小 称为向量 的 模，记为 . 当且仅当 且 与 的方向一致时 .

向量的坐标及坐标表示

向量 在直角坐标的三个坐标轴 ( 即 轴、 轴、 轴 ) 上的投影 , , 叫作向量 的坐标，记为

此时 .

零向量

模为零的向量称为零向量，常记为 . 零向量的方向可以看作是任意的.

单位向量

模为 的向量叫单位向量. 通常用 表示与 同方向的单位向量.

每一方向都有一个单位向量，不同方向的单位向量 与 ，只是 ，而不能说 .

两向量的夹角

设有两个非零向量 与 ，任取一点 作为始点，作 ，. 规定平面 上不超过 的角 ( 即 ) 称为向量 与 的夹角，常记为 或 .

若 与 同向，则 ；若 与 反向，则 .

向量 的方向余弦

若向量 为非零向量，它与 轴、 轴、 轴正向夹角分别为 、、，则称 、、 为 的方向余弦，且 ，²²²

向量的运算及性质

加减运算

几何表示

以 的终点作为 的起点，从 的起点到 的终点所作的向量称为 与 的和，记为 ；以 的终点作为起点，以 的终点为终点所作的向量称为 与 的差，记为 . 也可以用力学中的平行四边形法则来解释 与 的几何意义.

代数表示

设 ，，则

数乘运算

几何表示

设 是一个数， 是一个向量，，当 时 与 同向， 时 与 反向， 时 .

代数表示

设 ，则 .

数量积 ( 点积、内积 )

几何表示

· ，其中 .

•● 注 ●•

，即 是 在 方向上的投影.

代数表示

设 ，，则 .

运算规律

  1. 交换律 ：

  2. 分配律 ：

  3. 与数乘的结合律 ：

数量积在几何上的应用

求向量的模 ：

求两个向量 和 的夹角的余弦 ：，其中

判定两向量垂直 ：.

向量积 ( 叉积、外积 )

几何表示

是一向量.

模 ：，其中 .

方向 ： 同时垂直于 和 ，且符合右手法则.

代数表示

运算规律

  2. 分配律 ：

  3. 与数乘的结合律 ：

向量积在几何上的应用

求同时垂直于 和 的向量 ： ×

求以 和 为邻边的平行四边形面积 ：

判定两向量平行 ：

混合积

定义

称 为三个矢量 、、 的混合积. 本书将混合积记为 ，即 . 有的书将它记为 .

设 ，，，则

运算规律

  1. 轮换对称性 ：

  2. 两向量互换，混合积变号 ：

混合积在几何上的应用

求以 、、 为棱的平行六面体体积 ：平行六面体

判定三向量共面 ：、、 共面

平面与直线

平面方程

一般式方程

， 为平面的法向量，其中 、、 不全为零.

点法式方程

，其中 为平面上任意一定的一点， 为平面的法向量，、、 不全为零.

截距式方程

，其中 、、 分别为平面在三个坐标轴上的截距且均不为零.

平面束方程

设空间中有一条直线 ，它由两个平面 和 的交线确定 ： 则通过直线 的所有平面 ( 即平面束 ) 的方程为 ：

•● 注 ●• 通常用于求过直线且满足特定条件的平面.

直线方程

一般式方程

该直线为两平面的交线，这里假设 与 不共线 ( 两平面法向量不成比例 ).

两个平面法向量的向量积即为直线的方向向量.

对称式方程

其中 为直线上的任意取定的一点， 为直线的 方向向量.

参数式方程

为直线上的任意取定的一点， 为直线的 方向向量.

两点式方程

其中 为直线上的不相等的两个点.

平面与直线间的位置关系

平面与平面间的位置关系

设平面 ：， ：，则

  1. 平面 其中若某分母为零，理解对应的分子也为零.

  2. 平面 .

  3. 平面 与 之间的夹角 由以下公式确定 ：

直线与直线间的位置关系

设直线 ：，直线 ：，则

  1. 直线 其中若某分母为零，理解对应的分子也为零.

  2. 直线

  3. 直线 与 之间的夹角 由以下公式确定 ：

平面与直线的位置关系

设平面 ：，直线 ：，则

  1. .

  2. 其中若某分母为零，理解对应的分子也为零.

  3. 与 的夹角 由以下公式确定 ：

点到平面的距离公式

点 到平面 的距离为 ：

点到直线距离公式

点 到直线 的距离为 ：

两不相交直线间的距离公式

设直线 与 的方向向量分别为 与 ，点 ，点 ，则 与 间的距离 ：

空间曲面与曲线

旋转面及其方程

旋转面的定义

由 一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面 叫作 旋转曲面. 旋转曲线 称为旋转面的 母线，定直线 叫作旋转曲面的 轴.

旋转面方程

设有 面上的曲线 则

  1. 曲线 绕 轴旋转产生旋转面方程为 . 其中 '' 号由 中 所允许的符号而定.

  2. 曲线 绕 轴旋转产生旋转面方程为 . 其中 '' 号由 中 所允许的符号而定.
    关于 面或 面上的曲线绕其所在坐标面上的坐标轴旋转产生旋转面完全类似.

柱面及其方程

柱面的定义

平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 形成的轨迹 叫作 柱面. 定曲线 叫作柱面的 准线，动直线 叫作柱面的 母线.

柱面方程的建立

准线为 母线的方向向量为 的柱面方程的建立 ：先在准线 上任取一点 ，则过点 的母线方程为 . 消去方程组 中的 ，得到关于 的方程即为所求柱面方程.

准线为 母线方向向量为 的柱面方程的建立 ：该柱面方程为 ，这里 均为参数.

经常用到的是下面特例 ：设柱面的准线为 平面上的曲线 母线为平行于 轴的直线，则该柱面的方程为 .
类似地可建立母线为平行于 轴或 轴的柱面方程.

常见的柱面

  1. 圆柱面 ：，，.
  2. 椭圆柱面 ：.
  3. 抛物柱面 ：.

⁘ 图注 ⁘

下面为 python 代码.

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# Set up the figure with subplots
fig = plt.figure(figsize=(18, 12))

# Parameters
R = 2  # Radius for circular cylinders
a, b = 3, 2  # Semi-axes for elliptical cylinder
p = 1  # Parameter for parabolic cylinder

# Create parameter ranges
u = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)  # Angular parameter
v = np.linspace(-3, 3, 100)       # Height parameter
t = np.linspace(-3, 3, 100)       # Linear parameter

# 1. Circular Cylinders: x² + y² = R², y² + z² = R², x² + z² = R²

# First cylinder: x² + y² = R²
ax1 = fig.add_subplot(2, 3, 1, projection='3d')
x1 = R * np.cos(u)
y1 = R * np.sin(u)
X1, V1 = np.meshgrid(x1, v)
Y1, _ = np.meshgrid(y1, v)
Z1 = V1
ax1.plot_surface(X1, Y1, Z1, alpha=0.7, cmap='viridis')
ax1.set_title('Circular Cylinder: $x^2 + y^2 = R^2$')
ax1.set_xlabel('X')
ax1.set_ylabel('Y')
ax1.set_zlabel('Z')
ax1.set_xticks([-3, 0, 3])
ax1.set_yticks([-3, 0, 3])
ax1.set_zticks([-3, 0, 3])
ax1.grid(False)

# Second cylinder: y² + z² = R²
ax2 = fig.add_subplot(2, 3, 2, projection='3d')
y2 = R * np.cos(u)
z2 = R * np.sin(u)
Y2, V2 = np.meshgrid(y2, v)
Z2, _ = np.meshgrid(z2, v)
X2 = V2
ax2.plot_surface(X2, Y2, Z2, alpha=0.7, cmap='plasma')
ax2.set_title('Circular Cylinder: $y^2 + z^2 = R^2$')
ax2.set_xlabel('X')
ax2.set_ylabel('Y')
ax2.set_zlabel('Z')
ax2.set_xticks([-3, 0, 3])
ax2.set_yticks([-3, 0, 3])
ax2.set_zticks([-3, 0, 3])
ax2.grid(False)

# Third cylinder: x² + z² = R²
ax3 = fig.add_subplot(2, 3, 3, projection='3d')
x3 = R * np.cos(u)
z3 = R * np.sin(u)
X3, V3 = np.meshgrid(x3, v)
Z3, _ = np.meshgrid(z3, v)
Y3 = V3
ax3.plot_surface(X3, Y3, Z3, alpha=0.7, cmap='coolwarm')
ax3.set_title('Circular Cylinder: $x^2 + z^2 = R^2$')
ax3.set_xlabel('X')
ax3.set_ylabel('Y')
ax3.set_zlabel('Z')
ax3.set_xticks([-3, 0, 3])
ax3.set_yticks([-3, 0, 3])
ax3.set_zticks([-3, 0, 3])
ax3.grid(False)

# 2. Elliptical Cylinder: x²/a² + y²/b² = 1
ax4 = fig.add_subplot(2, 3, 4, projection='3d')
x4 = a * np.cos(u)
y4 = b * np.sin(u)
X4, V4 = np.meshgrid(x4, v)
Y4, _ = np.meshgrid(y4, v)
Z4 = V4
ax4.plot_surface(X4, Y4, Z4, alpha=0.7, cmap='spring')
ax4.set_title(f'Elliptical Cylinder: $\\frac{{x^2}}{{a^2}} + \\frac{{y^2}}{{b^2}} = 1$')
ax4.set_xlabel('X')
ax4.set_ylabel('Y')
ax4.set_zlabel('Z')
ax4.set_xticks([-3, 0, 3])
ax4.set_yticks([-2, 0, 2])
ax4.set_zticks([-3, 0, 3])
ax4.grid(False)

# 3. Parabolic Cylinder: y² = 2px
ax5 = fig.add_subplot(2, 3, 5, projection='3d')
y5 = t
x5 = y5**2 / (2*p)
Y5, V5 = np.meshgrid(y5, v)
X5, _ = np.meshgrid(x5, v)
Z5 = V5
ax5.plot_surface(X5, Y5, Z5, alpha=0.7, cmap='autumn')
ax5.set_title(f'Parabolic Cylinder: $y^2 = 2px$')
ax5.set_xlabel('X')
ax5.set_ylabel('Y')
ax5.set_zlabel('Z')
ax5.set_xticks([0, 3, 6])  # For parabolic cylinder, x is always positive
ax5.set_yticks([-3, 0, 3])
ax5.set_zticks([-3, 0, 3])
ax5.grid(False)

# Set equal aspect ratio for all subplots
for ax in [ax1, ax2, ax3, ax4, ax5]:
    ax.set_box_aspect([1,1,1])

# Add more spacing between subplots
plt.subplots_adjust(wspace=0.3, hspace=0.3)
plt.show()

常见的二次曲面及图形

  1. 椭球面 ：.
  2. 单叶双曲面 ：.
  3. 双叶双曲面 ：.
  4. 椭圆抛物面 ：.
  5. 双曲抛物面 ：.
  6. 二次锥面 ：.

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# Set up the figure with subplots
fig = plt.figure(figsize=(18, 12))

# Parameters
a, b, c = 2, 1.5, 1  # Semi-axes
p = 0.5  # Parameter for paraboloids

# Create parameter ranges
u = np.linspace(0, 2*np.pi, 50)  # Angular parameter
v = np.linspace(0, np.pi, 50)    # Elevation parameter
s = np.linspace(-3, 3, 50)       # Linear parameter
t = np.linspace(-3, 3, 50)       # Linear parameter

# 1. Ellipsoid: x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1
ax1 = fig.add_subplot(2, 3, 1, projection='3d')
U, V = np.meshgrid(u, v)
x1 = a * np.sin(V) * np.cos(U)
y1 = b * np.sin(V) * np.sin(U)
z1 = c * np.cos(V)
ax1.plot_surface(x1, y1, z1, alpha=0.7, cmap='viridis')
ax1.set_title('Ellipsoid: $\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} + \\frac{z^2}{c^2} = 1$')
ax1.set_xlabel('X')
ax1.set_ylabel('Y')
ax1.set_zlabel('Z')
ax1.set_xticks([-3, 0, 3])
ax1.set_yticks([-3, 0, 3])
ax1.set_zticks([-3, 0, 3])
ax1.grid(False)

# 2. Single-sheet hyperboloid: x²/a² + y²/b² - z²/c² = 1
ax2 = fig.add_subplot(2, 3, 2, projection='3d')
U, V = np.meshgrid(u, np.linspace(-2, 2, 50))
x2 = a * np.cosh(V) * np.cos(U)
y2 = b * np.cosh(V) * np.sin(U)
z2 = c * np.sinh(V)
ax2.plot_surface(x2, y2, z2, alpha=0.7, cmap='plasma')
ax2.set_title('Single-sheet hyperboloid: $\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} - \\frac{z^2}{c^2} = 1$')
ax2.set_xlabel('X')
ax2.set_ylabel('Y')
ax2.set_zlabel('Z')
ax2.set_xticks([-3, 0, 3])
ax2.set_yticks([-3, 0, 3])
ax2.set_zticks([-3, 0, 3])
ax2.grid(False)

# 3. Double-sheet hyperboloid: -x²/a² - y²/b² + z²/c² = 1
ax3 = fig.add_subplot(2, 3, 3, projection='3d')
U, V = np.meshgrid(u, np.linspace(0, 2, 25))
# Upper sheet (z > 0)
x3_upper = a * np.sinh(V) * np.cos(U)
y3_upper = b * np.sinh(V) * np.sin(U)
z3_upper = c * np.cosh(V)
# Lower sheet (z < 0)
x3_lower = a * np.sinh(V) * np.cos(U)
y3_lower = b * np.sinh(V) * np.sin(U)
z3_lower = -c * np.cosh(V)
ax3.plot_surface(x3_upper, y3_upper, z3_upper, alpha=0.7, cmap='coolwarm')
ax3.plot_surface(x3_lower, y3_lower, z3_lower, alpha=0.7, cmap='coolwarm')
ax3.set_title('Double-sheet hyperboloid: $-\\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{b^2} + \\frac{z^2}{c^2} = 1$')
ax3.set_xlabel('X')
ax3.set_ylabel('Y')
ax3.set_zlabel('Z')
ax3.set_xticks([-3, 0, 3])
ax3.set_yticks([-3, 0, 3])
ax3.set_zticks([-3, 0, 3])
ax3.grid(False)

# 4. Elliptic paraboloid: x²/a² + y²/b² = 2pz
ax4 = fig.add_subplot(2, 3, 4, projection='3d')
S, T = np.meshgrid(s, t)
x4 = S
y4 = T
z4 = (x4**2/a**2 + y4**2/b**2) / (2*p)
ax4.plot_surface(x4, y4, z4, alpha=0.7, cmap='spring')
ax4.set_title('Elliptic paraboloid: $\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} = 2pz$')
ax4.set_xlabel('X')
ax4.set_ylabel('Y')
ax4.set_zlabel('Z')
ax4.set_xticks([-3, 0, 3])
ax4.set_yticks([-3, 0, 3])
ax4.set_zticks([0, 5, 10])
ax4.grid(False)

# 5. Hyperbolic paraboloid: x²/a² - y²/b² = 2pz
ax5 = fig.add_subplot(2, 3, 5, projection='3d')
S, T = np.meshgrid(s, t)
x5 = S
y5 = T
z5 = (x5**2/a**2 - y5**2/b**2) / (2*p)
ax5.plot_surface(x5, y5, z5, alpha=0.7, cmap='autumn')
ax5.set_title('Hyperbolic paraboloid: $\\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{b^2} = 2pz$')
ax5.set_xlabel('X')
ax5.set_ylabel('Y')
ax5.set_zlabel('Z')
ax5.set_xticks([-3, 0, 3])
ax5.set_yticks([-3, 0, 3])
ax5.set_zticks([-5, 0, 5])
ax5.grid(False)

# 6. Quadric cone: x²/a² + y²/b² - z²/c² = 0
ax6 = fig.add_subplot(2, 3, 6, projection='3d')
U, V = np.meshgrid(u, np.linspace(-2, 2, 50))
x6 = a * np.abs(V) * np.cos(U)
y6 = b * np.abs(V) * np.sin(U)
z6 = c * V
ax6.plot_surface(x6, y6, z6, alpha=0.7, cmap='winter')
ax6.set_title('Quadric cone: $\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} - \\frac{z^2}{c^2} = 0$')
ax6.set_xlabel('X')
ax6.set_ylabel('Y')
ax6.set_zlabel('Z')
ax6.set_xticks([-3, 0, 3])
ax6.set_yticks([-3, 0, 3])
ax6.set_zticks([-3, 0, 3])
ax6.grid(False)

# Set equal aspect ratio for all subplots
for ax in [ax1, ax2, ax3, ax4, ax5, ax6]:
    ax.set_box_aspect([1,1,1])

# Add spacing between subplots
plt.subplots_adjust(wspace=0.3, hspace=0.3)
plt.show()

空间曲线及其方程

空间曲线方程常见是以下两种形式：

  1. 参数式 ：

  2. 一般式 ( 两曲面方程联立 ) ：

空间曲线的投影

设有空间曲线 ，先通过 消去 得 ，则曲线 在 面上投影曲线方程包含在方程 之中.

要求曲线 在其他两个坐标面上投影方法完全类似.

个人笔记

空间曲线奔赴平面投影，像一颗心奔赴归处，舍去一个维度的纷繁，在简洁里，藏起曾遍历空间的风尘.

例题

-+--< 例题 1 >--+-

过点 与 且与曲面 相切的平面为 .

分析 设切点，求切面法向量，利用平面过点及向量垂直关系，结合曲面方程求解，得平面方程.

解 设切点为 ，法向量为 ，则

解得
或

故法向量为或，所以平面方程为
或

-+--< 例题 2 >--+-

设两直线 .

1.证明 与 是异面直线；
2.求 与 之间的距离；
3.求过 且平行于 的平面方程.

分析 第一问 异面直线是既不相交，又不平行的直线. 显然，连接两条直线作为一个向量，此时必然和两条直线的方向向量构成一个平行六面体. 由行列式几何意义可知，行列式不为 . 第二问 直线到直线距离公式. 第三问 由题意显然可知，所求平面方程法向量与两条直线的方向向量都垂直，故法向量取两个直线的方向向量的向量积. 任取 一点即可求解.

解

1.证明 与 是异面直线
取 上点 ( 联立 方程，令 代入得 )，求 方向向量 由 两平面法向量 ，，叉乘得 .
过点 ，方向向量 ，向量 .
计算混合积 ，故异面.

2.求 与 之间的距离
异面直线距离公式 。
先算 ，模长 . ，绝对值为 .
距离 .

3.求过 且平行于 的平面方程
平面法向量 .
取 上点 ，由点法式得平面方程：，即 .